Afin Cayley-Klein düzleminde 1-parametreli hareketler

Abstract

Bu tez on temel bölüm ve iki ek bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm, giriş kısmına ayrılmış olup bu bölümde literatür özeti, tezin amacı ve orijinal katkı verilmiştir. İkinci bölümde, tezin bütünü için gerekli olan temel kavramlar verilmiştir. Üçüncü, dördüncü ve beşinci bölümlerde, sırasıyla, bir zaman parametresine bağlı olarak Öklid, Lorentz ve Galile düzlemlerde 1-parametreli düzlemsel hareketler ifade edilmiştir. Ayrıca, bu hareketlere ait türev denklemleri, hızlar, pol noktaları, ivmeler ve ivme polü kavramları ele alınmıştır. Altıncı bölümde, "bir doğru üzerindeki iki nokta arasındaki uzaklık ölçümü" ve "bir noktadan geçen doğrular arasındaki açı ölçümü" kavramlarıyla tanımlanan Cayley-Klein dokuz düzlem geometrisi ayrıntılı bir biçimde tanıtılmıştır. Bu kavramlar eliptik, parabolik, hiperbolik açı ve uzunluk ölçümleri olup düzlemde Cayley-Klein anlamda 9 geometrinin sınıflandırılması I. M. Yaglom un "A simple non-Euclidean Geometry and its Physical Basis" kitabı esas alınarak verilmiştir. Daha sonra Afin Cayley-Klein düzlem kavramı verilmiş ve bu düzlemlerde bazı lineer cebir ve diferansiyel geometri kavramları açıklığa kavuşturulmuştur. Bu düzlemler genel olarak olarak isimlendirilmiştir. Yedinci ve daha sonraki temel bölümler tezin orijinal kısmını oluşturmaktadır. Yedinci bölümde, Afin Cayley-Klein düzleminde 1-parametreli hareketler incelenmiş, bu hareketlere ait türev denklemleri, hızlar-hızların terkibi, pol noktaları, ivmeler-ivmelerin terkibi ve ivme polü elde edilmiştir. Sekizinci bölümde, Afin Cayley-Klein düzleminde 1-parametreli hareketler altında hareketli koordinat sistemi ele alınmıştır. Dokuzuncu bölümde, yedinci ve sekizinci bölümde verilen 1-parametreli hareketler ve hareketli koordinat sistemi kavramlarından faydalanılarak kanonik izafe sistemi elde edilmiştir. Bu izafe sistem yardımıyla hareket altında yörünge eğrilerinin eğrilikleri arasındaki ilişkiyi veren Euler-Savary formülü hesaplanmıştır. Onuncu bölüm olan son bölümde orijinal bölümlerde elde edilen sonuçlardan bahsedilmiş ve gelecek çalışmalar için önerilerde bulunulmuştur. Tezin ek kısımlarında ise, tez bütününde ihtiyaç duyulan Lorentz ve Galile düzlemlerine ait temel kavramlara yer verilmiştir.