Üç boyutlu yarı uzayda operatör katsayılı schrödinger denkleminin spektrumunun asimptotik davranışı

Abstract

H ayrılabilir bir Hubert uzayı olsun. LaCEjjH) ile E3 -Euclidean uzayının üst yan bölgesinde tanımlanmış, değerleri H Hubert uzayında olan ve normunun karesi integrallenebilir fonksiyonlar uzayını gösterelim. Hı = LaCE^H) uzayına ait keyfi f(x) ve g(x) fonksiyonları için (f,g)Hı = J(f(x),g(x))Hdx ifadesi bir skaler çarpım tanımlar. H, uzayı bu skaler çarpıma göre ayrılabilir bir Hubert uzayı oluşturur. L2(E3,H) uzayında operatör katsayılı -Au + Q(x)u,xeE£ diferansiyel ifadesi ve u(xı,X2,x3)|S3=0 = 0 sınır şartı ile bir L0 simetrik operatörü oluşturulmuştur. Burada Q(x), Vx e E3 için kendine eş, alttan sınırlı ve tersi tam sürekli olan bir operatör, -A ise üç boyutlu Laplace operatörüdür. L0 operatörünün kapanışım L ile gösterelim. Bazı şartlar altında L operatörü kendine eş olur. Böylece elde edilen L operatörünün spektrumunun saf-ayrık olduğu ispatlanmış ve L operatörünün A, > 0 sayısını aşmayan öz değerler sayısı olan N(A) fonksiyonu için Nfl.)--^? J fl,-ai(x))§dx, X-*oo 6îî i oı&a asimptotik formülü elde edilmiştir. Burada ctı(x) < ot2(x) <,...an(x) <... fonksiyonlar H Hiîbert uzayında dönüşüm yapan Q(x) operatörünün özdeğerleridir.