Simetri indirgemesi ile elde edilen yeni (2+1)-boyutlu ikili-Hamiltoniyen sistem ve hareket sabitleri

Abstract

Evrimsel tipte doğrusal-olmayan kısmi türevli diferansiyel denklemler doğada bulunan dinamik sistemleri başarılı bir şekilde modelleyebildikleri için literatürde sıklıkla yer alırlar. Bu tür denklemlerin tam çözümlerini elde edebilmek için araştırmalar uzun yıllardır süregelmektedir. Bu çalışmada, yakın zamanda keşfedilmiş ve $(3+1)$-boyutlu ikili-Hamiltoniyen yapı oluşturduğu gösterilmiş olan evrimsel Hirota tipinde bir denklem ele alınmıştır. Lie cebiri yöntemleri kullanılarak, denklemi $(2+1)$-boyutta elde edebilmek için özel bir simetri birleşimi seçimi ile simetri indirgemesi yapılmıştır. İndirgenmiş denklem $(2+1)$-boyutlu yeni sistem oluşturan iki bileşenli gösterimde yazılmıştır. $(3+1)$-boyutlu sisteme ait tüm parametreler aynı simetri seçimi ile indirgenmiştir. Helmholtz koşulunun sağlandığı gösterilerek indirgenmiş denklemin varyasyonel bir problemi temsil ettiği doğrulanmıştır. İndirgenmiş Euler-Lagrange denklemi için tanımlı Lagrange yoğunluğu Homotopi formülü kullanılarak elde edilip iki bileşenli gösterime göre yeniden düzenlenmiştir. Legendre dönüşümü kullanılarak birinci Hamiltoniyen yoğunluğu bulunmuştur. Dirac bağ analizi yardımıyla yeni sisteme ait simplektik ve birinci Hamilton operatörler bulunmuştur. Bu sisteme ait simetri koşulunun asimetrik çarpanlar biçimine dönüştürülmesi sayesinde tekrarlama operatörü elde edilmiştir. Bu sayede, tekrarlama operatörü birinci Hamilton operatörüne uygulanarak ikinci Hamilton operatörüne ulaşılmıştır. Bu yöntem ile elde edilen $(2+1)$-boyutlu tüm parametrelerin $(3+1)$-boyuttan doğrudan indirgenerek elde edilen parametreler ile tam olarak aynı olduğu gözlenmiştir. Yeni sistemin Magri teoremine göre ikili-Hamiltoniyen yapı oluşturduğu gösterilmiştir. Noether teoremi sayesinde, yeni sistem tarafından belirlenen akışa ait korunumlu nicelikler ortaya çıkarılmıştır. Son olarak, korunumlu nicelikler toplam diverjans formuna getirilerek gerçekten korunum yasalarını temsil ettikleri gösterilmiştir.