Asimetrik heavenly denkleminin simetri indirgemesi ve bi-Hamilton yapısı

Abstract

Bu çalışmada son günlerde gelişme gösteren 3+1-boyutlu integre edilebilir bi-Hamilton sistemler çalışılmıştır. Genel olarak bir bağımlı değişken ile x, y, z ve t şeklinde dört bağımsız değişkenden oluşan ikinci mertebeden lineer olmayan diferansiyel denklemler ele alınacaktır. Ortak simetri içeren, lineer olmayan, ikinci mertebeden kısmı türevli diferansiyel denklemlerin sınıflandırılmasından elde edilen kanonik denklemlerden biri olan asimetrik heavenly denklemi, bu denklemlere bir örnektir. Bu denklemin bir simetri indirgemesinden elde edilen 2+1-boyutlu yeni denklemin çoklu-Hamilton yapıya sahip integre edilebilir bir sistem verdiği gösterilmiştir. İndirgenmiş yeni 2+1 boyutlu sistem iki bileşenli formda yazıldığında bi-Hamilton yapıya sahip olduğu gösterilmiştir. Birinci Hamilton fonksiyonu ve simplektik yapıyı elde etmek için Dirac'ın bağ teorisi iki-bilişenli sistem için tanımlanan yeni Lagrange fonksiyonuna uygulanarak elde edilmiştir. Sistemin Frechet türevini elde etmek için sadece bağımlı değişkenleri içeren Lie grup dönüşümüne integre edilebilirlik şartı (compatibility) uygulanmıştır. Tekrarlama operatörünün ve Frechet türevininin komutatörünün sistemi yeniden oluşturduğu için Olver-Ibragimov-Shabat tipi Lax çifti oluşturdukları gösterilmiştir. Daha sonra tekrarlama operatörü inşa edilmiş ve sistemin ikinci Hamilton yapısı tekrarlama operatörünün birinci Hamilton operatörüne uygulanmasıyla elde edilmiştir. Son olarak Hamilton operatörleri için Jacobi özdeşliği P. Olver'in yöntemi kullanılarak kanıtlanmıştır. Böylece Magri teoremine göre indirgenmiş 2+1-boyutlu yeni sistemin tamamen integre edilebilir olduğu sonucuna varılmıştır