Sonlu ve değişmeli halkalarda lineer kodlar

Abstract

Bilgi çağında yaşadığımız günümüzde dijital bilgi transferi sırasında kaynaktan alıcıya bilgi aktarırken kanalda, gürültü olarak adlandırılan etkenlerin neden olduğu bazı hatalar meydana gelmektedir. Kodlama teorisi bu hataların belirlenmesi ve düzeltilmesi ile ilgilenen bir bilim dalıdır. Bu alandaki ilk çalışmalar cisimler üzerinde gerçekleştirilmiştir. Mümkün olan en iyi hata düzeltme kapasitesine sahip özel kod aileleri belirlenmiştir. Örneğin; Hamming kod, Goppa kod ve BCH kod bu özel kod ailelerindendir. Sonlu cisimler üzerinde çalışılan kod ailelerinin cebirsel yapısı halkalar üzerinde incelenmeye başlandığında, bazı kod ailelerinin özel bir dönüşüm olan Gray dönüşüm altındaki görüntülerinin literatürde bilinen kodlardan daha iyi hata düzeltebilen kodlar elde edildiği gözlemlenmiştir. Böylece halkaların yapısına göre kod ailelerinin karakterizasyonları merak edilmiştir. Bu çalışmada farklı zincir olmayan halkalar üzerinde tanımlanan kod ailelerinin yapıları incelenerek bazıları için tam karakterizasyonlar elde edilmiştir. Bu kod aileleri için hata düzeltme kapasitelerini ifade eden kod parametreleri verilmiştir. Bu kod ailelerinden bazıları; devirli, sabit devirli, çarpık devirli, kuantum ve DNA kodlardır. Bölüm 1’de literatür özeti verilerek bu çalışmanın amacı ve literatüre olan orijinal katkısı ifade edilecektir. Bölüm 2’de cebirsel kodlama teorisi ile ilgili temel tanım ve teoremler ifade edilecektir. Bu çalışmada kullanılan özel kod aileleri ile ilgili temel tanım ve teoremler verilecektir. Bölüm 3’de ilk defa tanımlanan Rq,2 halkasının cebirsel yapısı incelenerek bu halka üzerinde lineer ve devirli kodlar ile bu kodların dual kodlarının yapısı verilecektir. Ayrıca Rq,2 halkası üzerinde kendine dik kodlar kullanılarak kuantum kodlar elde edilecektir. Bölüm 4’de ilk defa tanımlanan R v2-v halkasının cebirsel yapısı incelenerek bu halka üzerinde lineer, sabit devirli ve çarpık sabit devirli kodların yapısı verilecektir. Ayrıca R v2-v halkası üzerinde ters sıralı ve ters sıralı tamlanan kodların cebirsel özelikleri incelenecektir. Ayrıca R v2-v halkası üzerinde DNA kodlar elde edilecektir. Bölüm 5’de R v4-v halkası üzerinde lineer, devirli, ters sıralı ve ters sıralı tamlanan kodların cebirsel özelikleri incelenecektir. Ayrıca R v4-v halkası üzerinde DNA kodlar elde edilecektir. Bölüm 6’da bu tezin sonucu ve ileriki çalışmalar için öneriler verilecektir.