İki ve üç boyutta spin ½ Ising modeli için ortalama alan yaklaşımı

Abstract

Ernst Ising, doktora tezinde hocası Wilhelm Lenz tarafından önerilen manyetik faz geçişi problemini inceleyerek kendi adı ile anılan Ising modeli kurdu. Ising model istatistik mekaniğin üzerinde en fazla çalışılan konularından birisidir. Ising model istatistiksel mekanikte faz geçişini matematiksel olarak gösteren bir model olması yönüyle önemlidir. Ising, 1 boyutta sadece mutlak sıcaklıkta manyetik faz geçişinin olduğunu gösterdi.1944 yılında L. Onsager, Ising modelin 2 boyutta kare latis için dış manyetik alan yokluğunda kesin çözümünü bulmuştur. Sonraki yıllarda, 2 boyutta dış manyetik alan yokluğunda üçgen ve bal peteği örgü latisleri için kesin çözüm bulunmuştur. Bunların dışında başka kesin çözüm yoktur. Kesin çözüm olmaması nedeniyle Isıng model çok çalışılan konulardan biridir. Ising modelin çözümünde ortalama alan teorileri sıklıkla kullanılır. Bu tezde ortalama alan teorilerinden Bragg - Williams ve Bethe - Peierls yaklaşım metotları detaylı bir şekilde çözülmüştür. Sonraki bölümde kritik üsteller tanıtıldıktan sonra ortalama alan teorisindeki kritik üsteller anlatılmıştır. Bu tezde ortalama alan teorisi kullanılarak yeni geliştirilen indirgenmiş transfer matris metodu 2 ve 3 boyutta detaylı bir şekilde çözülüp anlatılmıştır. İndirgenmiş transfer matris metodunun tahmin ettiği kritik sıcaklık değerleri bugüne kadar geliştirilen ortalama alan teorilerine göre çok daha iyi sonuç vermektedir. Daha sonra sistemin kritik üstelleri bulunmuştur.8. bölümde 1981 yılında yapılan korelasyonlu etkin alan teorisi anlatılmıştır. Bu teorideki korelasyon fonksiyonunun indirgenmiş transfer matris metodunda kullanılması ile daha iyi sonuç alınabileceği düşüncesinden yola çıkılarak, korelasyonlu indirgenmiş transfer matris metodu geliştirilmiştir. Bu metodun tahmin ettiği kritik sıcaklık değeri 2 boyutlu sistemler için indirgenmiş transfer matris metodunun tahmin ettiği kritik sıcaklık değerinden daha iyidir.