Bazı grup halkalarında kodların yapısı

Abstract

Dijital iletişimin öneminin artmasıyla birlikte cebirsel kodlama teorisi bilim alanı yaygın ve hızlı bir şekilde gelişmektedir. Bu anlamda kodlar için yeni inşa yöntemleri, yeni parametreler bulmak veya kodların minimum uzaklığı ya da boyutları üzerinde bazı sınırlar bulmak büyük önem arz etmektedir. Grup halkası kavramı ilk olarak Arthur Cayley tarafından tanıtıldı. Grup halkaları birimsel elemanlar ve sıfır bölenlerce zengin olduklarından yeni kod parametreleri elde etmek için oldukça elverişli cebirsel yapılardır. Kodların birçok özelliği grup halkalarının kavramları yardımıyla çok rahat bir şekilde ifade edilebilir. Grup halkaları üzerinde kodların yapısını incelediğimiz bu çalışma aşağıdaki şekilde düzenlenmiştir. Birinci bölüm literatür özeti, tezin amacı ve hipoteze ayrılmıştır. İkinci ve üçüncü bölümlerde tezin devamı için gerekli olan grup halkaları ve cebirsel kodlama teorisi hakkındaki kavram ve notasyonlar bir araya getirilmiştir. Dördüncü bölümde devresel sıfır bölen kodların yapısı bir grup halkası ailesinde çalışılmıştır. Ayrıca elde edilen bu kodların eleman sayıları ile dual kodları verilmiştir. Beşinci bölümde literatürde bir ilk olarak sabit devirli kodlar ile grup cebirleri arasında ilişki kurulmuş ve bu kodların yapısı çalışılmıştır. Ayrıca grup cebirlerindeki sıfır bölenler kullanılarak sabit devirli kodlar için bir inşa yöntemi verilmiştir. Bunlara ek olarak önerilen inşa metodu yardımıyla sabit devirli kodlar için bazı iyi kod parametreleri çizelgeler halinde verilmiştir. Daha sonra bu kodlar içinde kendine dik ve kendine dual olan kodlar belirlenmiştir. Bu kodlara bağlı olarak kuantum hata düzelten kodlar için bazı iyi kod parametreleri elde edilmiştir. Buna ek olarak (F_q + vF_q)G grup halkasındaki sabit devirli kodlardan kendine dik ve kendine dual olan kodlar belirlenmiştir. Belirlenen bu kodlar için uygun bir Gray dönüşümü tanımlanarak sonlu cismi üzerinde birçok kuantum hata düzelten kod parametresi elde edilmiştir. Altıncı bölümde grup halkaları üzerinde LCD (dualleri ile kesişimi sıfır vektörü olan lineer kodlar) kodlar için bazı gerek ve yeter koşullar belirlenmiştir. Son bölüm ise sonuç ve önerilere ayrılmıştır.