Laplace, ters Laplace dönüşümleri ve diferansiyel denkleme uygulaması

Abstract

Diferansiyel denklem problemleri, matematik ve fizik temel bilimlerinde, ayrıca mühendislik alanında sıkça karşımıza çıkan problemlerdendir. Bu diferansiyel denklem problemlerinin çözümü için çeşitli yöntemler bulunmaktadır. Laplace dönüşümleri de bu çözüm yöntemlerinden biri olmakla birlikte oldukça da kullanışlıdır. Özellikle başlangıç değer problemleri bu dönüşümler uygulanarak kolaylıkla çözülebilir. Zor çözülebilecek bir diferansiyel denklemi Laplace dönüşümü ile basit cebir problemine dönüştürebiliriz. Ardından bu basit cebir problemini çözüp, ters Laplace dönüşümü ile kolayca sonuca ulaşabiliriz. Bu çalışmanın da ilk bölümünde, dönüşümün ne olduğu örneklerle açıklanmıştır. ikinci bölümde, Laplace dönüşümü tanımlanmış ve temel özellikleri teorem başlıkları altoda yazılıp ispatlanmıştır. Ayrıca diferansiyel denklem problemlerinin çözümünde karşımıza çıkabilecek bazı özel fonksiyonlar ele alınarak Laplace dönüşümleri hesaplanmıştır. Üçüncü bölümde ters Laplace dönüşümü ve özelliklerine yer verilmiş, ters Laplace dönüşümünün hesaplanmasında kullanılan yöntemler anlatılmıştır. Dördüncü bölüm kompleks sayılara ayrılmış, ters Laplace dönüşümünün bulunmasında rezidü teoreminin kullanılması örneklerle açıklanmıştır. Beşinci bölümde sabit ve değişken katsayılı adi diferansiyel denklemler, adi diferansiyel denklem sistemleri ile fark denkleminin çözümüne örnekler verilmiştir. Altıncı bölümde Laplace dönüşümlerinin, matematik, fizik temel bilimlerinde ve mühendislik alanında nerelerde kullanıldığına örnekler verilerek değinilmiştir.