Stokastik diferansiyel denklemlerin bazı tıp ve finans problemlerine uygulanması ve nümerik çözümleri

Abstract

Bu tez çalışmasında çözümü stokastik süreçler olan stokastik diferansiyel denklemler konusu ve uygulama alanları incelenmiştir. Stokastik diferansiyel denklemlerin varlık tekliklerinden bahsedilip, analitik ve nümerik çözüm yöntemleri anlatıldıktan sonra, ilgili nümerik yöntemlerin kararlılık analizleri üzerinde durulmuştur. Uygulamalar kısmında stokastik diferansiyel denklemler, iki önemli konu olan tümör büyümesi ve hisse senedi tahminleri için kullanıldı. İlk uygulama olarak, 01.01.2005- 01.01.2015 tarihleri arasındaki YAHOO hisse senedi fiyatları, finansal bir stokastik diferansiyel denklem modeli olan Black-Scholes modeli ile yaklaşık olarak hesaplandı. İkinci bir uygulama olarak ise paratiroid tümörünün insan vücudundaki davranışı ve büyümesi üzerine çalışıldı. Bunun için öncelikle Gompertz model tanımlandı ve literatürdeki 41 gerçek hasta üzerinden paratiroid kanserinin zamana göre değişimi deterministik olarak incelendi. Daha sonra hastalar üzerinden elde edilen veriler ile, stokastik modeldeki difüzyon katsayısı belirlendi ve bu katsayı kullanılarak, deterministik Gompertz kurallarının geçerli olduğu stokastik Gompertz model tanımlandı. Tanımlanan bu stokastik model ile tümör büyümesinin zamana göre değişimi yaklaşık olarak hesaplandı. İki modelin de hem analitik çözümleri hem de tanımlanan nümerik yöntemler kullanılarak nümerik çözümleri elde edildi. Elde edilen çözümler gerçek veriler ile kıyaslandı, hata tabloları ve grafikler ile etkinlikleri gösterildi.