Torsal varyetelerin geometrisi

Abstract

Bu çalışmadaki amacımız, tarsal varyetelerin verilen bir konveks yapıdan ve verilen bir idealden nasıl oluşturulduğunu anlamaya çalışmaktır. Bu amaçla, çalışmamızı, Fulton (1997) kitabının birinci ve üçüncü bölümlerini ve Sturmfels (1997) makalesini temel alarak hazırladık. Burada, ayrıntılı bir şekilde bu iki kaynağı, tüm örnek ve çözümleri ile birlikte, anlamaya çalışıyoruz. Öncelikle, ileriki bölümlerde karşımıza çıkacak temel kavramları tanımlamakla başlayacağız. Üçüncü bölümde, n-boyutlu bir uzayda verilen belirli özelliklere sahip bir koniden başlayarak afin tarsal varyete oluşturacağız. Dördüncü bölümde, verilen birden fazla koniye (yani fana) karşılık gelen tarsal yapıyı oluşturacağız. Bu işlem, fandaki her bir koniye karşılık gelen afin tarsal varyeteyi oluşturduktan sonra konilerin birbirlerine göre durumlarını göz önünde bulundurarak bu varyeteleri yapıştırmaktan, ibarettir. Böylece projektif tarsal varyete elde etmiş olacağız. Bu bölümlerde, Fulton (1997) kitabının iki bölümünü ayrıntılı bir şekilde anlamaya ve önerilen alıştırma problemlerinin çözümlerini bulmaya çalışacağız. Beşinci bölümde, elde ettiğimiz tarsal varyetelerin, torus etkisini kullanarak yörüngelerini tanımlamaya çalışacağız. Önceki bölümlerde ele aldığımız örneklerin yörüngelerini inceleyeceğiz. Altıncı bölümde, Sturmfels (1997) çalışmasından yararlanarak matrisler ve tarsal varyeteler arasındaki ilişkiyi ve ideallerin Gröbner tabanını öğreneceğiz. Daha sonra, matrislerin hangi koşul altında aynı tarsal varyeteyi verdiklerini öğrenmek için Katsabekis ve Thoma (2003) makalesini anlamaya çalışacağız. Çalışmamızı, bir normal varyete ile bir tarsal varyete arasındaki ilişki kurabilmek amacıyla Altinok ve Tosun (2004) makalesinden örnek vererek bitireceğiz.