Operatör katsayılı bir diferansiyel operatörün negatif özdeğer sayısının asimtotik davranışı

Abstract

H sonsuz boyutlu ayrılabilir bir Hilbert uzayı olamak üzere [0, â ) aralığında tanımlı vedeğerleri H ye ait olan Bochner anlamında ölçülebilir veâ 2â « f ( x) dx < â 0koşulunu sağlayan tüm f fonksiyonlarının kümesini L2 (0, â , H ) ile gösterelim. L2 (0, â , H )kümesi bir lineer uzaydır. Bu uzayın herhangi iki f ve g elemanlarının iç çarpımınıâ ( f , g ) (0,â ) = â « ( f ( x), g ( x))dx0formülü ile tanımlarsak L2 (0, â , H ) sonsuz boyutlu, ayrılabilir bir Hilbert uzayı oluşturur.?Operatör Katsayılı Bir Diferansiyel Operatörün Negatif Özdeğer Sayısının AsimtotikDavranışı? adlı bu tez çalışmasında L2 (0, â , H ) uzayındaâ ²l ( y ) = â ( p( x) y â ²( x)) â Q( x) y ( x)diferansiyel ifadesi ve α â (â â , â ) bir sabit olmak üzerecos α . y (0) + sin α . y â ²(0) = 0sınır koşuluyla oluşturulan bir diferansiyel operatörün kapanışının kendine eş olduğu ve bukendine eş operatörün alttan yarı sınırlı olduğu, spektrumunun negatif kısmının ayrık olduğuispatlanmış ve â ε dan ( ε >0) küçük olan özdeğerlerinin N (ε ) sayısı için ε â 0 ikenα j ( x) â ε[ ]N (ε ) = Ï â 1 1 + O(ε t0 ) â â « dx ,p ( x)j α j ( x ) ⠥εα j ( x) â ε[ ]N (ε ) = Ï â 1 1 + O(e â ε ) â â β⠫ dxp ( x)j α j ( x ) ⠥εşeklinde asimtotik formüller bulunmuştur. Bu formüllerde α1 ( x), α 2 ( x),â ¦ ile tam süreklikendine eş Q ( x ) : H â H operatörünün özdeğerleri gösterilmiştir. t 0 ve β pozitifsabitlerdir.