Sonlu cisimler üzerinde ayrık fourier dönüşümü ve cebirsel kodlama teorisindeki bazı uygulamaları

Abstract

Fourier dönüşümü, kompleks fonksiyonlar teorisinde Fourier analizi konu başlığı altında incelenen, bilimin ve mühendisliğin çeşitli alanlarında karşımıza çıkan matematikçiler için ilginç bir yöntem, mühendisler için kullanışlı bir araç olan çok yönlü bir kavramdır. Matematikte daha çok kompleks sayılar cisminde Fourier dönüşümü incelense de, bu çalışmada sadece sonlu cisimler üzerindeki dönüşümleri incelendi. Bu amaçla öncelikle sonlu cisimler, cisim genişlemeleri ve bunlar için örnekler verildi. Fourier dönüşümünün tanımıyla birlikte matris gösterimi, tez içinde tanım ve teoremlerde kullanacağımız özellikleri ve genellikle mühendislerin aşina oldukları fakat matematiksel olarak da çok anlamlı olan lineer yineleme ve lineer kompleksite kavramları incelendi. Fourier dönüşümün kullanım alanlarından en önemlilerinden biri olan hata düzelten kodlar içinde devirli kodlar ve bunlara ait özellikler üzerinde duruldu. Bir devirli kodun Fourier dönüşümü sonucunda elde edilen frekans bölgesindeki spektral olarak ne anlam ifade ettiği incelendi. Devirli kodların klasik tanımının dışında, belirli spektral bileşenleri sıfıra eşit olan kodlar olarak tanımlanabileceği ve birçok kodun dekodlamasını da spektral olarak tanımlanabileceği gösterildi. Devirli kodlar içinde özel olarak, günümüzde iletişim sistemlerinde, kompakt disklerde ve dijital video işlemlerinde en çok kullanılan Reed-Solomon kodları ve bunların bir altcisim-alt kodu olarak BCH kodları araştırıldı. Bu kodların spektral tanımları ve bazı kodlama örnekleri incelendi. Ayrıca yine Reed-Solomon ve BCH kodlarının bir veya iki bileşen eklenerek genişletilmiş formlarının oluşturulması gösterildi. Reed-Solomon kodlar için kullanılan algoritmaların en kullanışlı olanlarının Fourier dönüşümüne dayandığı görülmüştür. Bunlar hata yerini bulan dekodlama sınıfına girip cebirsel olarak önemlidirler. Bu algoritmalardan bazılarını tanıtmak amacıyla polinom gösterimleri, sendromlar ve bunların spektral tanımları incelendi. Hatanın yerini ve değerini cebirsel metotlar kullanarak bulmaya yarayan Peterson-Gorenstein-Zierler dekodlayıcısı ve Sugiyama algoritması ayrıntılarıyla incelenmiştir.