Stokastik diferansiyel denklemlerin sayısal çözümleri

Abstract

Bu tez çalışmasında stokastik diferansiyel denklemlerin (SDD) türleri tanımlanarak analitik (kesin) ve nümerik çözüm yöntemlerine çalışılmıştır. Tez yedi bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde SDD ile ilgili literatür özeti, tezin amacı ve hipotez verilmiştir. İkinci bölümde tezde kullanılacak olan temel kavramlardan, tanımlardan bahsedilmiş ve deterministik diferansiyel denklemlerden SDD’e geçiş anlatılmıştır. Üçüncü bölümde SDD’in genel hali tanıtılarak çözümleri için varlık teklik şartları verilmiştir. Lineer, lineere indirgenebilir SDD ve stokastik diferansiyel denklem sistemleri (SDDS), bu denklemlerin analitik çözümlerinin elde edilişinden bahsedilmiştir. Dördüncü bölümde Ito Taylor açılımı ve bu açılımdan EM, Milstein şemalarının elde edilişi verilmiştir. Yaklaşık çözümler bulmamıza yardımcı olacak diğer nümerik metodların şemaları üzerinde durulmuştur. Beşinci bölümde ise gecikmeli stokastik diferansiyel denklemler (GSDD) tanıtılmış ve gecikmeli lineer stokastik diferansiyel denklemlerden (GLSDD) bahsedilmiştir. Bu denklemlerin analitik çözümünün elde edilişi verilmiştir. Altıncı bölüm uygulamalardan oluşmaktadır. Bölümün ilk uygulamasında 10000 yol üzerinden lineer olmayan SDD’in analitik ve nümerik çözümü elde edilerek ortalaması alınmıştır. Bu ortalama çözüm, 50 örneklem yol üzerinden bulunan çözümlerle aynı grafikte çizilmiştir. Farklı adım uzunlukları için modelin analitik ve nümerik çözümleri MATLAB programlama dilinde yazmış olduğumuz kodlar yardımıyla hesaplanmıştır. Çözümlerin ortalama karesel hata tablosu, hata grafikleri verilmiştir. Bunun dışında lineer SDD’e indirgenebilir, SDDS, Stratonovich SDD’i ile ilgili birer problem analitik ve nümerik olarak çözülmüştür. Son olarak gecikmeli lineer stokastik diferansiyel denklem modeli analitik ve nümerik olarak hesaplanmıştır. Bütün çözümler grafiklerle ve hata tablolarıyla desteklenmiş ve yorumlanmıştır.