Hiperyüzeyler üzerinde eğrilik çizgilerinin diferensiyel geometrik özellikleri

Abstract

Bu tez çalışması sekiz bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmış olup, literatür özeti ve tezin amacını içermektedir. ikinci bölümde, bu tezde çalışılan üç ve dört boyutlu Öklid uzaylarındaki eğriler, yüzeyler ve hiperyüzeyler ile ilgili temel kavramlar tanıtılmıştır. Üçüncü bölümde, parametrik denklemiyle verilen bir yüzey üzerinde bir eğrilik çizgisinin elde edilişi ve bu eğrilik çizgisinin eğriliğinin ve burulmasının hesaplanması detaylı olarak incelenmiştir. Ayrıca eğriliği ve burulmayı hesaplarken ortaya çıkan singüler ve dejenere durumlar incelenmiştir. Dördüncü, beşinci ve altıncı bölümler tezin orijinal kısımlarını oluşturmaktadır. Dördüncü bölümde, 4-boyutlu Öklid uzayında parametrik denklemiyle verilen bir hiperyüzey üzerindeki eğrilik çizgisinin nasıl elde edileceği gösterilmiştir. Beşinci bölümde, dördüncü bölümde elde edilen eğrilik çizgilerinin Frenet eğrisi olmaları durumunda diferansiyel geometrik özellikleri, genişletilmiş Darboux çatısı kullanılarak hesaplanmıştır. Ayrıca, eğrilik çizgilerinin analitik olarak elde edilemediği durumlarda da bu eğrilerin eğriliklerinin nasıl hesaplanabileceği gösterilmiştir. Eğrilikler, Frenet vektörleri ve genişletilmiş Darboux vektörleri hesaplanırken 3-boyutlu uzayda ortaya çıkan singüler ve dejenere durumlar gözlenmemiştir. Altıncı bölümde, dört boyutlu Öklid uzayında dayanak eğrisi, ikinci ve üçüncü eğriliklerinin oranı sabit bir Frenet eğrisi olan bir regle hiperyüzey inşa edilerek, bu hiperyüzey üzerinde dayanak eğrisinin eğrilik çizgisi olduğu gösterilmiştir. Buna ek olarak, elde edilen hiperyüzeyin singüler noktaları ile açılabilirliği araştırılmıştır. Yedinci bölümde, tezin orijinal kısmında yapılan çalışmalar bir örnekle desteklenmiştir. Sekizinci bölümde, orijinal kısımdaki sonuçlardan bahsedilmiş ve gelecek çalışmalar için önerilerde bulunulmuştur.