F2 + uF2 + vF2 + v2F2 halkası üzerindeki devirli kodlar ve DNA kodlara uygulamaları

Abstract

Bu çalışmada, öncelikle yerel Frobenius olup zincir halkası olmayan R = F2[u, v]/〈u2 =v2, uv = 0〉 bölüm halkası olarak da ifade edilen R = F2 + uF2 + vF2 + v2F2 halkası üzerinde durulacaktır. R halkası üzerinde tanımlanan bir C devirli kodunu üreten ideal yapısı verilecek ve R halkası üzerinde ters-sıralı DNA kod elde etmek için tek ya da çift uzunluklu devirli kodların 3 tipi belirlenecektir. Belirlenen bu devirli kodların üreteç matrisi ve kodsöz sayısı elde edilecektir. Ayrıca dual kodunun üreteci belirlenecek ve R halkası üzerindeki lineer kodlar için kendine dik olma koşulu verilecektir. R halkası üzerindeki kodların Gray dönüşümlerinden optimal ikili lineer kodlar elde edilecektir. Ayrıca elde edilen kodların kendine dik kod oldukları ve tümünün bir-ağırlıklı kod oldukları bilgisi verilecektir. Farklı bir kod inşa metodu olan, döngüsel matrisler, yani R halkası üzerindeki temsilci vektörünü ve bu vektörün devirsel ötelemelerini satır kabul eden matrisler kullanılarak optimal kodlar elde edilecek ve bu kodların arasında iki-ağırlıklı kodların bulunmasının yanı sıra optimal iki-ağırlıklı kodların da olduğundan bahsedilecektir. R halkası üzerindeki devirli kodların DNA’ya uygulamalarına yer verilerek R halkası üzerinde tanımlanan devirli kodların cebirsel özelliklerinden faydalanılmak suretiyle DNA kodlar için önemli bir eşik olan ters sıralılık problemi çözülerek ters-sıralı DNA kod ve ters-sıralı tamlayan DNA kodlar elde edilecektir. Son olarak ise gerçek DNA dizileri üzerine çalışmalar yapılacaktır. İnsanda bulunan TRAV7 (T cell receptor alpha variable 7) geni ve farede bulunan TRAV7-1 ile TRAV7-6 arasındaki 7 gen üzerindeki lineer kod yapısı incelenecektir. TRAV7 genlerinden kayan pencere metodu ile elde edilen dizilerin F4 ’teki karşılıklarını satır kabul eden matrislerin ürettiği kodların parametreleri elde edilecektir. Ayrıca elde edilen lineer kodlar MDS, kendine dual, kendine dik, devirli ve optimal olma özelliklerine göre sınıflandırılacaktır. Literatürde ilk olarak, TRAV7 geni ve Arabidopsis Thaliana geni için hata düzeltme grafikleri elde edilerek genlerle hata düzeltme grafikleri arasındaki ilişki araştırılacaktır. Kodlanan ve kodlanmayan bölgelere karşılık hata düzeltme grafiğindeki durumlar incelenerek hata düzeltemeyen kodların kodlanmayan bölgede yoğunlaştığı gösterilecektir.