Lie grupları üzerindeki bazı kontrol sistemlerinin kontrol edilebilirliği

Abstract

Bu tez çalışması ile belirli Lie grupları üzerindeki afin kontrol sistemlerinin kontrol edilebilirliğine dair sonuçlar elde edilerek Matematiksel Kontrol Teoriye katkıda bulunulmuştur. Çalışma 5 bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, tezimizdeki problemlerin literatür özeti, bu tez çalışmasının hangi amaçla oluşturulduğu ve problemlerin hipotezlerinden kısaca bahsedilmiştir. İkinci bölümde, Lie teorisinin temelini oluşturan Lie cebiri, Lie grubu, üstel tasvir ve adjoint gösterim detaylı biçimde açıklanmış ve temel teoremler ile örnekler verilerek tezin temel kavramları ifade edilmiştir. Üçüncü bölümde ise, genel kontrol sistemlerinin temel bileşenleri detaylı bir biçimde verilmiştir. Lie grupları üzerinde tanımlı bilinen kontrol sistem çeşitleri kısaca belirtilmiştir. Çalışmamızın önemli bir parçası olan afin kontrol sistemleri detaylı bir biçimde ele alınmış ve çalışmamıza ışık tutan karakterizasyonun Öklid uzayı üzerindeki çalışması gösterilmiştir. Dördüncü bölüm, tezin ilk özgün kısmını içermektedir. Tüm 3-boyutlu reel matris Lie gruplarının türev cebirleri ve bu Lie grupları üzerindeki afin kontrol sistemlerinin dinamiğinin elemanlarının Lie parantezleri hesaplanmıştır. Ayrıca 3-boyutlu Lucky Guess Lie grubu elde edilmiş ve; bu grubun cebirsel ve topolojik özellikleri incelenmiştir. Ek olarak, Lucky Guess Lie grubunun 3-boyutlu genel hali verilmiştir. Son olarak, 3-boyutlu reel matris Lie grupları üzerindeki afin kontrol sistemlerinin kontrol edilebilirlik sınıflandırması lineer, invariant ve bilineer kontrol sistemlerinden yararlanılarak yapılmıştır. Beşinci bölüm de tezin özgün kısmından oluşmaktadır. Serbest nilpotent Lie grubu üzerindeki afin kontrol sisteminin otomorfizm yörüngesi elde edilmiş ve sisteme ilişik bilineer kısmına bağlı olarak kontrol edilebilirlik karakterize edilmiştir.