Kısmi diferansiyel denklemlerin nümerik çözümleri için Gegenbauer dalgacık Galerkin yöntemi

Abstract

Bu tez çalışmasında, kısmi diferansiyel denklemlerin nümerik çözümleri Gegenbauer dalgacık Galerkin yöntemiyle, zaman kesirli mertebeden türevli kısmi diferansiyel denklem sistemlerinin nümerik çözümleri ise hem Gegenbauer dalgacık Galerkin yöntemi hem de Gegenbauer dalgacık sıralama yöntemiyle ele alınmıştır. Bu tez çalışmasının asıl amacı, bu yöntemleri kullanarak bir boyutlu ısı denkleminin, KdV-Burgers-Kuramoto denkleminin, doğrusal ve doğrusal olmayan Klein-Gordon denklemlerinin ve zaman kesirli ikili Burgers denkleminin nümerik çözümlerini elde etmektir. Elde edilen nümerik sonuçlar tablolaştırılıp grafikleri çizildikten sonra hem analitik çözüm hem de elde edilen nümerik çözümler birbiri ile karşılaştırılmıştır. Bulunan sonuçlar değerlendirildiğinde, Gegenbauer dalgacık Galerkin yönteminin hem kısmi diferansiyel denklemlerin hem de kesirli mertebeden türevli doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklem sistemlerinin nümerik çözümlerini elde etmede çok etkili ve pratik bir yöntem oldugu gösterilmiştir. Bu tez, yedi bölümden oluşmaktadır. Bölüm 1’de konu ile ilgili literatür taraması yapılıp tezin amacından ve hipotezden bahsedilmiştir. Bölüm 2’de, ortogonal polinomlar ve dalgacıklar ile ilgili temel bilgiler verildikten sonra tezin alt yapısını oluşturan Gegenbauer dalgacıkları, Gegenbauer dalgacıklarıyla fonksiyonlara yaklaşım ve Gegenbauer dalgacıklarının yakınsaklık analizi ile ilgili bilgiler sunulmuştur. Bölüm 3’te bir boyutlu ısı denklemi Gegenbauer dalgacık Galerkin yöntemiyle nümerik olarak çözülmüştür. Elde edilen nümerik sonuçlar, tablolar halinde verilip grafikleri çizilerek analitik çözümlerle ve literatürde mevcut olan bazı sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Bölüm 4’te KdV- Burgers- Kuramoto denklemi ele alınmıştır. Bu denklemin nümerik çözümleri Gegenbauer dalgacık Galerkin yöntemiyle elde edilmiştir. Elde edilen nümerik çözümler hem analitik çözümlerle hem de literatürde mevcut olan Legendre dalgacık yöntemiyle elde edilen nümerik sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Ayrıca nümerik sonuçların grafikleri çizilmiştir. Bölüm 5’te doğrusal ve doğrusal olmayan Klein-Gordon denklemleri ele alınmıştır. Bu denklemler, Gegenbauer dalgacık Galerkin yöntemiyle nümerik olarak çözülmüştür. Elde edilen nümerik sonuçlar tablolar halinde verilip grafikleri çizilerek tam çözümler ile karşılaştırılmıştır. Bölüm 6’da, zaman kesirli ikili Burgers denklemi hakkında bilgi verilmiştir. Ele alınan problem hem Gegenbauer dalgacık Galerkin yöntemi hem de Gegenbauer dalgacık sıralama yöntemiyle çözülmüştür. Elde edilen nümerik sonuçlar tablolaştırılıp grafikleri çizildikten sonra elde edilen nümerik çözümler analitik çözümler ile karşılaştırılmıştır. Bölüm 7’de elde edilen tüm sonuçların detaylı olarak değerlendirmesi yapılmıştır. Bu tez çalışmasında, Maple 15 programlama dili kullanılmış ve tüm hesaplamalar bu program ile yapılmıştır.