Üç boyutlu si̇metri̇k jeodezi̇k koordi̇nat dönüşümünde stokasti̇k model tasarımı

Abstract

Koordinat dönüşümü probleminde iki sistem arasındaki matematiksel ilişki, dönüşüm parametreleri ile tanımlanır. Bu parametrelerin belirlenmesi için izlenen klasik yaklaşım (ağırlıklı) en küçük kareler (EKK) dengelemesidir. Eğer başlangıç ve hedef sistem koordinatlarının her ikisi de rasgele hatalar ile yüklü ise, başlangıç sistemi hatalarının göz ardı edilmesi, bazı özel durumlar dışında, yanıltıcı sonuçlar elde edilmesine neden olur. Bu sebeple dönüşüm probleminin çözümü, tüm koordinat hatalarının dikkate alındığı simetrik koordinat dönüşümü altında ele alınmalıdır. Simetrik koordinat dönüşümünün çözümü toplam EKK yöntemi olarak adlandırılır. Bu yöntem, doğrusal olmayan bir denklem sisteminin iteratif çözümünü gerektirmektedir. Dolayısıyla, dönüşüm parametrelerinin iyi belirlenmiş yaklaşık değerlerine gereksinim duyulur. Dönüşüm parametrelerinin büyük olması durumunda, dönüklük matrisinin Euler açıları ile parametrizasyonu, başlangıç değeri belirleme problemi başta olmak üzere nümerik açıdan çeşitli zorluklara sebep olabilir. Bu nedenle, dönüklüklerin farklı bir şekilde ifade edildiği daha genel bir çözüme ihtiyaç duyulur. Bu çalışma kapsamında, üç boyutlu asimetrik ve simetrik koordinat dönüşümü problemlerinin kuaterniyon tabanlı EKK yöntemi ile çözümü ele alınmıştır. Dönüklüklerin kuaterniyonlar ile gösteriminin klasik Euler açılarına göre avantajları ortaya konmuş ve algoritmanın performansı oldukça geniş bir örneklemde test edilmiştir. Başlangıç sistemi koordinat hatalarının ihmal edilmesinin parametre kestirimine etkileri irdelenmiştir. Ayrıca, her iki sistem koordinatlarının da farklı kaynaklardan gelmesi durumunda problem, varyans bileşenleri bilinmeyen simetrik koordinat dönüşümü altında ele alınmış ve varyans bileşen kestirimi (VBK) algoritmasının başarısı irdelenmiştir.

Elde edilen sonuçlara göre, her iki sistem koordinatları da hatalı iken başlangıç sistemi koordinat hatalarını ihmal etmek çözümlerin biaslı olmasına sebep olmaktadır. Bu bias, başlangıç sistemi koordinatlarının doğruluğu hedef sistem koordinatlarına göre arttıkça azalmaktadır. Başlangıç sistemi koordinatları hedef sistem koordinatlarından en az 10 kat daha doğru ise, asimetrik ve simetrik koordinat dönüşüm algoritmaları ile özdeş parametre kestirimleri elde edilir. Benzer biçimde, başlangıç sistemi koordinatlarının doğruluğu hedef sistem koordinatlarına göre arttıkça VBK’nin başarı oranı azalmaktadır. Bu durumda (aslında her durumda), nokta sayısının artması VBK algoritmasının başarı oranını arttırmaktadır.