Evrimsel (2+1)-boyutlu hirota tipi denklemlerin ikili-hamiltoniyen yapıları

Abstract

Bu tez çalışmasında, evrimsel Hirota tipi (2+1)-boyutlu denklemlerin bi-Hamiltoniyen yapıları incelenmiştir. Bu tipteki denklemler için Langrange fonskiyonu, Helmholtz koşulu ve homotopi formülü kullanılarak oluşturulmuştur. Bu Langrange fonksiyonunun Euler-Langrange denklemlerinin simplektik Monge-Ampere formuna sahip olduğu gösterilmiştir. Daha sonra, simetriler için yenileme ilişkileri ve Lax çifti Langrange denklemleri için elde edilmiştir. Burada simetri koşulu asimetrik çarpanlar formuna dönüştürülerek başlanmıştır ve hemen ardından bu form için simetri durumundan simetriler için bir ilişki Lax çifti ve simetri koşulunun üçüncü formundan simetri ilişkisi elde edilmiştir. Birinci Hamiltoniyen yapıyı oluşturabilmek için, Langrange denklemi iki bileşenli yapıya çevrilmiştir ve sonrasında J_0, birinci Hamiltoniyen operatörünü elde edebilmek için Dirac'ın bağ koşulu teorisi uygulanmıştır. Buna karşılık gelen Hamiltoniyen fonksiyonu, H_0, dejenere Langrange fonksiyonuna Lejendre dönüşümü uygulanarak elde edilmiştir. Böylece iki bileşenli evrimsel Hirota tipi denklem için birinci Hamiltoniyen yapı oluşturulmuştur. İkinci Hamiltoniyen yapıyı oluşturabilmek için ise simetriler için yenileme ilişkileri kullanılarak, 2×2 matris formunda yenileme operatörü elde edilmiştir. Son olarak, yenileme operatörü, J_0, birinci Hamiltoniyen operatörüne etki ettirilerek, J_1, ikinci Hamilton operatörü ve ona denk Hamiltoniyen yoğunluğu elde edilmiştir. İntegre edilebilirlik koşulu ve katsayılar için bağ koşulu kullanılarak yedi parametreli ikili-Hamiltoniyen sistemler ailesi elde edilmiştir.