Kuadratik sayı cisimlerinde çarpanlara ayırma, ideal sınıf grubu ve L-fonksiyonları

Abstract

Kuadratik sayı cisminin tam sayılar halkası TÇAB olduğunda sayılar teorisinde tam sayılar için yapılan birçok işlem bu tamlık halkalarına transfer edilebilir. Fakat maalesef cebirsel sayı cisimlerinin tamlık halkalarında her zaman çarpanlara ayrılma tam sayılardaki gibi tek türlü olmayabiliyor. Bu özelliğin yokluğunun ölçüsü sınıf sayısı olarak adlandırılır. Sayılar teorisiyle uğraşanlar bu özelliğin olmayabileceğini fark etmesinden sonra bu problemin üstesinden gelebilmek için epeyce çaba harcamışlardır. Bu çalışmalar yeni bir alanı, ideal teorisini doğurmuştur. Ondan beri ideal teorisi ve sınıf sayısı hesaplama problemi üzerine çok sayıda çalışmalar yapılmıştır. Sınıf sayısının hesaplanmasının zorluğu kriptografik uygulamalar kuadratik sayı cisimlerinin kullanılmasını sonuç vermiştir.Bu tezde kuadratik sayı cisimlerinde çarpanlara ayırma ve ideal teorisi ele alınmıştır. İdeal sınıf gruplarının yapısı ve sınıf sayısı diye adlandırılan mertebeleri incelenmiştir. İkisi cebirsel birisi analitik olan üç farklı sınıf sayı bulma metodu ele alınmıştır. Dirichlet karakterleri ve bir kuadratik sayı cismine karşılık gelen kuadratik formlar, zeta ve L-fonksiyonları çalışılmış ve kuadratik sayı cisimleriyle bağlantılarına dair sonuçlar elde edilmiştir. Pari programının cebirsel sayı cisimleri paketinin geniş bir kısmını kaplayan kuadratik sayı cisimleriyle ilgili bölümü tanıtıldı. Her bir bölümün sonunda bölümle ilgili Pari kodları ve tezde çözülen problemlerde ve çizelgelerin oluşturulmasında kullanılan Pari programları verildi.