3+1 boyutta integre edilebilir sistemler ve bi-hamiltonyen yapıları

Abstract

Bu çalışmada son günlerde gelişme gösteren 3+1 boyutlu integre edilebilir bi-Hamiltonyen sistemler çalışılmıştır. Genel olarak bir bağımlı değişken ile x, y, z ve t şeklinde dört bağımsız değişkenden oluşan ikinci mertebeden lineer olmayan diferansiyel denklemler ele alınacaktır. Reel dört boyutta Öklid veya ultra-hiperbolik imzada (signature) "(anti)-self-dual gravity" içeren Kompleks Monge-Ampere denklemi, bu denklemlere bir örnek oluşturmaktadır. Kompleks Monge-Ampere denkleminin, reel birinci mertebeden 2-bileşenli formda tanımlandığında bi-Hamiltonyen yapıya sahip olduğu gösterilmiştir. Böylece Kompleks Monge-Ampere denklem sistemi, Magri teoremine göre dört boyutta tamamen integre edilebilir bir sistemdir. Birinci Hamiltonyen ve simplektik yapıyı elde etmek için Dirac'ın bağ teorisi 2-bilişenli sistem için tanımlanan yeni Lagranjyen'e uygulanarak elde edilmiştir. Sistemin Frechet türevini elde etmek için sadece bağımlı değişkenleri içeren Lie grup dönüşümüne, integre edilebilirlik şartı (compatibility) uygulanmıştır. Tekrarlama operatörü ve Frechet türevi komütatörünün, sistemi yeniden oluşturduğu için Olver-Ibragimov-Shabat tipi Lax çifti oluşturdukları gösterilmiştir. Daha sonra tekrarlama operatörü inşa edilmiş ve sistemin ikinci Hamiltonyen yapısı, tekrarlama operatörünün birinci Hamiltonyen operatörüne uygulanmasıyla elde edilmiştir. Son olarak Hamiltonyen operatörleri için Jacobi özdeşliği, Olver'in yöntemi kullanılarak kanıtlanmıştır. Böylece Magri teoremine göre reel dört boyutta "self-dual gravity"nin tamamen entegre edilebilir olduğu sonucuna varılabilmiştir.