Ağırlıklı bir telin titreşim probleminin grand-lebesgue uzaylarında spektral özellikleri

Abstract

İki ucu sabit, ortasında yük asılı bir ipin titreşim probleminin Fourier metodu ile çözümünde, sınır koşullarında spektral bir parametre olan spektral problem ortaya çıkmaktadır. Bu tür problemlerin çözümlerinde, problemin özfonksiyonlar ve ilişkili fonksiyonlar sisteminin uygun uzaylarda bazlık özelliklerinin incelenmesi gerekir. Bu çalışmada, sınır koşullarında spektral parametre bulunan ikinci mertebeden bir diferansiyel denklem için süreksiz spektral problemin özfonksiyonlar sisteminin bazlığı Lp) (−1, 1), 1 < p < +∞ grand-Lebesgue uzayı ve Lp),ρ(−1, 1), 1 < p < +∞ ağırlıklı grand-Lebesgue uzayı için incelenmiştir. Grand-Lebesgue uzaylarının ayrılabilir olmaması sebebiyle, öteleme (shift) operatörü kullanılarak tanımlanan, Gp) (−1, 1) ayrılabilir alt uzayı düşünülmüştür. İlk olarak spektral problemin özdeğer ve özfonksiyonlarının asimtotik formülleri bulunmuş, daha sonra problemin Green fonksiyon yapısını kurularak, problemden üretilen lineerleştirilmiş operatörü ve rezolvent yapısı Gp) (−1, 1) ⊕ C uzayı üzerinde oluşturulmuştur. Tanımlanan süreksiz diferansiyel operatörün özfonksiyonlar sisteminin bazlık kriterleri (tamlık, minimallik, projeksiyonların düzgün sınırlılığı) Gp) (−1, 1)⊕C, 1 < p < +∞uzayında ispatlanarak özfonksiyonlar sisteminin bazlığı elde edilmiştir. Sonrasında ise ele alınan problemin özfonksiyonlar sisteminden çift indisli herhangi bir fonksiyon çıkarıldığında, geriye kalan sistemin Gp) (−1, 1), 1 < p < +∞uzaylarında bir baz oluşturduğu gösterilmiştir. Ağırlıklı grand-lebesgue uzayı da ayrılabilir olmadığı için benzer yöntemle Gp),ρ(0, 1), 1 < p < +∞ uygun alt uzayı tanımlanmıştır. Bu bölümde bir diğer spektral problem ele alınmıştır. Bu problemde yük telin tam ortasında değil, telin 1 3 noktasındadır. Telin üzerine asılan yüküm konumunun değişmesi sebebiyle problemin özdeğerler ve özfonksiyonların asimtotik formüllerinin yeniden bulunması gerekir. Sonrasında ρ ağırlık fonksiyonu Muckenhoupt şartını sağlamasıyla, üstel sistemlerin, trigonometrik sistemlerin bazlık özellikleri Gp),ρ(0, 1), 1 < p < +∞ uzayında incelemiştir. Spektral probleme uygun süreksiz diferansiyel operatörün özfonksiyonlar sisteminin Gp),ρ(0, 1) ⊕ C, 1 < p < +∞ uzayında bir baz oluşturduğu p−yakın ve q−baz gibi kavramlar kullanılarak, trigonometrik sistemler aracılığıyla ispatlanmıştır. Son olarak problemin özfonksiyonlar sisteminden belirli şartlar altında keyfi bir fonksiyonu çıkardığımızda çalışmalar tamamlanmıştır.