Yapay sinir ağları yardımıyla Schrödinger denkleminin nümerikanalizi

Abstract

Bu çalışmada Zamandan Bağımsız Schrödinger Denklemini (ZBSD) çözmek ve çeşitli rastgele potansiyel kuyuları için bir parçacığın ilk beş öz durumunun enerjilerinin ve dalga fonksiyonlarının bulunması için bir Derin Sinir Ağı (DSA) kullanılmıştır. Bu rastgele potansiyeller karmaşıklıklarına göre üç kategoride oluşturulmuştur. Karşılaştırma için analitik çözümlerin elde edilebildiği durumlarda analitik çözümler kullanılmıştır. Eğer Schrödinger Denklemini (ZBSD) analitik olarak çözülebilir değilse, sayısal yaklaşımları bulmak için Sonlu Farklar Yöntemini (SFY) kullanılmıştır. Derin Sinir Ağı (DSA) kullanılarak elde edilen dalga fonksiyonları ve enerjiler, analitik yöntemler veya Sonlu Farklar Yöntemini elde edilen sonuçlarla iyi bir uyum içerisindedir. Schrödinger denkleminin formu fiziksel duruma bağlıdır. Bu formlar zamana bağlı Schrödinger denklemi ve zamandan bağımsız Schrödinger denklemi olarak bilinmektedir. Zamana bağlı Schrödinger denklemi, dalga fonksiyonlarının durağan durumlar olarak adlandırılan duran dalgalar oluşturabileceğini tahmin eder. Bu durumların bireysel çalışmaları daha sonra herhangi bir durum için zamana bağlı Schrödinger denklemini çözme görevini basitleştirdiği için özellikle önemlidir. Durağan durumlar ayrıca, zamandan bağımsız Schrödinger denklemi olan Schrödinger denkleminin daha basit bir formuyla da tanımlanabilir. Bu süreçte yazılım dillerinden yeni ve yaygın olan Python'dan yararlandık. İlerideki bölümlerde göreceğiniz gibi önce Schrödinger denklemini kod için türev operatörlerini tanımladık. Daha sonrasında potansiyellerimizi üreterek bunların nümerik çözümlerini bulduk. Son olarak da modelimizi oluşturarak elde ettiğimiz sonuçların doğruluğunu inceledik.