Temel gruplar

Abstract

Bu tezin amacı, cebirsel topolojide önemli bir yeri olan temel grupları, tanımlar ve teoremler yardımıyla açıklamaktır. Eğrisel bağlantılı bir X kümesinin temel grubu, homotopi denklik bağıntısı altında p tabanlı ilmek kümelerinin denklik sınıflarının kümelerinden oluşan gruptur. p tabanlı ilmek, p noktasını başlangıç ve bitim noktası kabul eden yoldur. Yol, x 0 , x1 â Xiçin [ 0,1 ] kapalı aralığının 0 noktasını x 0 noktasına, 1 noktasını x1 noktasına götüren tasvirdir, bu tasvir x 0 'dan x1 'e bir yoldur.p noktasını içeren dejenere yola homotopik olan tüm yolların kümesi, bu grubun birim elemanıdır. Homeomorfik uzayların temel grupları izomorfiktir. Aslında temel grup, sadece X'inhomotopi tipine bağlıdır. a ilmeği ve b ilmeğinin grup çarpımı aâ b, art arda gelen a ve b yolları şeklinde gösterilir. Birim eleman, sabit yol, a'nın tersi onun ters yönündeki yoldur. Her ilmeği sabit ilmeğe homotopik olan temel gruba aşikar temel grup adı verilir. Aşikar temel gruba sahip bir uzaya basit bağlantılı uzay denir. Bu ve benzeri tanımlardan yola çıkarak temel grubun özellikleri ispatlanabilir ve bu ispatlar birçok homoemorfizm problemlerinin çözümünde kullanılır.