Ayrık kesirli Fourier ve doğrusal kanonik dönüşümlerin özanalizi

Abstract

Fourier dönüşümünün genelleştirilmiş hali olan kesirli Fourier dönüşümü, özellikle son yıllarda, bir çok alanda kullanılmaya başlanan güçlü bir dönüşümdür ve Fourier dönüşümünün kullanıldığı bütün alanlarda kullanılma potansiyeli bulunmaktadır. Sayısal dünyanın, analoğun yerini almasıyla birlikte Fourier dönüşümününün kullanımı hemen her zaman ayrık Fourier dönüşümü ile yapılmaktadır. Ayrık Fourier dönüşümü bu kadar önemliyken, ayrık kesirli Fourier dönüşümü yeterince incelenmemiştir. Bu tezin önemli bir bölümünde ayrık kesirli Fourier dönüşümünün yeni tanımlamaları üzerinde çalışılmıştır.Bu tezde üç değişik ayrık kesirli Fourier dönüşümü tanımlaması yapılmıştır. Bunun yanında bir uygulama olarak, durağan olmayan işaretin eksik kısımlarını ardışıl izdüşümler tekniğiyle geri elde nasıl geri elde edileceği tanıtılmıştır. Son olarak da hem Fourier dönüşümünün, hem kesirli Fourier dönüşümünün, hem de diğer bir takım dönüşümlerin genelleştirilmiş hali olan doğrusal kanonik dönüşümün özfonksiyonları ve bunları üreten diferansiyel denklemler verilmektedir.Ayrık kesirli Fourier dönüşümünün ilk tanımında sadece merkezi ayrık Fourier dönüşümü ve onun katları kullanılarak ayrık Fourier dönüşümünün özvektörleri bulunmuş ve uygun özdeğerler seçilerek ayrık kesirli Fourier dönüşüm matrisi oluşturulmuştur. Daha sonra da bulunan özvektörler uygun şekilde kullanılarak ayrık Fourier dönüşümüyle sırabağımsız bir matris bulunarak, literatürdeki diğer sırabağımsız matrislerle doğrusal kombinasyonu alınmış ve Hermite-Gauss fonksiyonlarının örneklerine daha yakın özvektörler bulunmuştur. Elde edilen ayrık kesirli Fourier dönüşüm matrisinin zaman-frekans bölgesinde döndürme özelliği dahil bir çok özelliği test edilmiştir. Bilgisayar benzetimleriyle Hermite-Gauss fonksiyonlarının örneklerine ne kadar yaklaştığı, diğer yöntemlerle de karşılaştırılarak gösterilmiştir.İkinci tanımlamada ise çift-doğrusal dönüşümün türeve olan yaklaşıklığından esinlenilmiş ve Hermite-Gauss üreten ikinci dereceden diferansiyel denklem ayrıklaştırılarak ayrık Fourier dönüşümünün özvektörleri bulunmuştur. Bu yaklaşıklığın kararlılık analizi yapılmış, önce daha kararlı, sonra da hem kararlı hem de daha iyi bir yaklaşıklık tanıtılmıştır. Son olarak da yüksek dereceden çift-doğrusal türev matrisleri kullanılarak ayrık Fourier dönüşümüyle sırabağımsız matris elde edilmiştir.Üçüncü ve son ayrık kesirli Fourier dönüşümü tanımlamasında önce ikinci türev operatörüne sonsuz dereceden Taylor yaklaşıklığı bulunmuştur. Daha sonra da bu türev matrisi kullanılarak Hermite-Gauss üreten diferansiyel denklemde yerine konularak ayrık Fourier dönüşümüyle sırabağımsız bir matris elde edilmiştir. Benzetim sonuçları bu yöntemin literatürdeki bütün diğer yöntemlerden daha iyi sonuç verdiği gösterilmiştir.Bir uygulama olarak da ardışıl izdüşümler tekniği kullanılarak, kesirli Fourier bölgesinde, durağan olmayan işaretlerin eksik kısımları geri elde edilmiştir. Önce, işaretlerin optimum kesirli geri elde edim bölgesi kestirilmiş, daha sonra da bu bölgede geri elde edim yapılmıştır. Bilgisayar benzetimleri sonucunda önerilen yöntemin geleneksel yöntemlere oranla çok daha başarılı olduğu görülmüştür.Son olarak da doğrusal kanonik dönüşümün özfonksiyonları bulunmuş, bu özfonksiyonları üreten diferansiyel denklemler tanıtılmıştır.