Bazı özel modüller üzerinde toplamsal kodlar

Abstract

Teknoloji çağı olan günümüzde haberleşme araçlarının çok fazla önemi vardır. Her gün cep telefonu, internet, televizyon ve benzeri iletişim araçlarıyla iç içeyiz ve daha farklı modern iletişim araçlarını kullanıyoruz. Bu araçlar yardımıyla farklı şehir veya ülkelerden insanlarla irtibata geçiyor televizyon ve internet vasıtasıyla dünyanın herhangi bir yerinde meydana gelen bir olaydan çok kısa süre içerisinde haberdar olabiliyoruz. E-posta ve diğer sosyal iletişim araçlarını kullanarak arkadaşlarımızla ya da ailemizle mesajlaşabiliyor hatta görüntülü olarak konuşabiliyoruz. Bu iletişim araçları olmadan bir dünya hayal edemesek de iletişim dünyasındaki bu yeni teknolojilerin büyük bir kısmının çok eski bir geçmişi yoktur. 1870'de telefonun hayatımıza girmesiyle beraber iletişim teknolojisi her geçen gün gelişmiş ve bugünkü halini almıştır. İletişim araçlarının yaygınlaşması, daha kaliteli ve güvenli iletişim ihtiyacını ortaya çıkarmış ve bu ihtiyaca bilgi ve kodlama teorisi denilen bilim dalı çözüm aramaya başlamıştır. Bilgi ve kodlama teorisi ile ilgili en önemli gelişme 1948 yılında Shannon tarafından yayımlanan bir makale olmuştur [1]. Shannon bu makalesinde, iletişim sistemi için genel bir mekanizma tanımlamış, bilgi ve kodlama teorisinin temellerini oluşturmuştur. 1990'lı yıllarda kodlama teorisiyle ilgili çalışmalar halkalar üzerine aktarılmaya başlanmıştır. Özellikle halkası üzerinde yapılan çalışmalar ve bu halka üzerindeki kodların özel bir Gray dönüşümü tanımlanarak, önceden tanımlanmış ve mükemmel denilen ikili kodlara çevrilmesi halkalar üzerindeki kodlar için bir dönüm noktası olmuştur. 2010 yılında toplamsal kodlar tanımlanmış ve bu kodların yapısı incelenmiştir. Bu kodlar bünyelerinde hem ikili hem de dörtlü kodları barındırdıklarından kodlama teorisinin ilginç ve araştırmaya açık bir alanı haline gelmiştir. Bu tez, toplamsal kodlarla ilgili bugüne kadar yapılan çalışmaları genellemektedir. Giriş bölümü olan birinci bölümde literatürde toplamsal kodlarla ilgili yapılan çalışmalardan bahsedilmiş, tezin amacı ve orijinalliği hakkında bilgi verilmiştir. İkinci bölüm ise kodlama teorisiyle alakalı temel bilgi ve tanımların verildiği Kodlama Teorisine Giriş bölümüdür. Üçüncü ve dördüncü bölümlerde, tamsayılar ve asal bir sayı olmak üzere, toplamsal kodların doğal birer genelleştirilmesi olan toplamsal ve toplamsal kodlar tanımlanmış ve bu kodların cebirsel yapısı hakkında bilgi veren üreteç ve kontrol matrislerinin standart formları belirlenmiştir. Ayrıca bu iki kod ailesi üzerinde bazı sınırlar verilmiş ve bu sınırları sağlayan bazı örnekler elde edilmiştir. Beşinci bölümde, ve olmak üzere lineer kodlar tanımlanmıştır. Bu kodlar yapısal olarak toplamsal kodlara benzemelerine karşın bazı özellikleri itibariyle bu kodlardan daha avantajlıdırlar. Ayrıca, lineer kodların üreteç matrislerinin standart formları belirlenmiş, bu kodlar için dual uzay tanımlanarak dual uzay için üreteç matrisi olan kontrol matrisin standart formu da verilmiştir. Son kısımda ise bu kodlardan ikili görüntüleri optimal parametrelere sahip olanlara örnekler verilmiştir. Ayrıca, MacWilliams özdeşliği elde edilerek bir , lineer kodunun ağırlık dağılımıyla dual kodunun ağırlık dağılımları arasındaki bağıntı da verilmiştir. Tezin son bölümü olan altıncı bölüm ise sonuç bölümüdür.