Bulanık alt grupların ve kodların sayısı ile bazı uygulamalar

Abstract

Klasik mantıkta bir önerme ya doğrudur ya da yanlıştır, üçüncü bir durum söz konusu olamaz. Ancak bazen, hatta genelde dünyadaki olayları açıklamak için kesin tanımlamalar yetersiz kalır. Bu olayları açıklamak için belli terim ve ölçülere ihtiyaç duyulur. İşte bu yeni mantık "Bulanık Mantık (Fuzzy Logic)"olarak adlandırılır. Bulanık Mantık ilk olarak, M.Ö. 500 yılında Buda tarafından ve ondan 200 yıl kadar sonra da Yunan filozof Aritoteles tarafından ortaya atılmıştır. Bu alanda matematiğe uygulanması bakımından yapılan en önemli çalışma 1965 yılında University of California, Berkeley'den Lotfi A. Zadeh'in klasik mantık yaklaşımının kesin çizgilerini yok eden "Fuzzy Sets (Bulanık Kümeler)" (Zadeh [19]) adlı çalışmasıdır. Bu eser, var olan çizgilerin dışına çıkmış ve bu alandaki diğer araştırmacılara öncü olmuştur. Bulanıklık ile ilgili cebirsel alt yapı ise A. Rosenfeld (Rosenfeld [1]) ve P. S. Das (Das [2]) tarafından inşa edilmiştir. "Fuzzy" kelime anlamı olarak bulanıklığı ifade eder. Bulanık kümelerin elemanlarından bahsederken "kümeye aittir ya da değildir" gibi kesin ifadeler kullanılmaz. Bunun yerine "belli derecelerle kümenin elemanıdır" şeklinde ifadeler kullanılır. Güzellik, gençlik, yaşlılık, uzun boyluluk, çalışkanlık, zeka kavramları bulanıklık ifade eden ve kişiden kişiye göre değişen ifadeler olduğundan bulanık küme mantığı konusu içerisinde yer alan başlıklardan bazılarıdır. xiv Öte yandan bu çalışmada yer verilen, cebirin en önemli uygulama alanlarından biri olan Cebirsel Kodlama Teorisi, son zamanlarda birçok matematikçi tarafından çalışılmaktadır. Teori ilk olarak 1948'de Claude Shannon'ın "A Mathematical Theory of Communication" (Shannon [7]) adlı meşhur makalesi ile başladı. İlk zamanlarda tüm çalışmalar cisimler üzerinde iken, 1994'den itibaren, P. V. Kumar ve arkadaşlarının çalışması (Hammons [8]) ile birlikte halkalar üzerinde kodlar çalışılmaya başlandı. Son yıllarda ise bazı özel halkalar üzerinde kodlar ve özellikleri oldukça popüler olmuştur. Bu çalışmaların yanı sıra, lineer kodları kombinatorik açıdan incelemek, yani lineer kodların alt lineer kodlarının sayılarını bulmak oldukça önemli bir problemdir. Bu problem, cisimler üzerinde lineer kodlar için tamamıyla çözülmüştür ve kodların sayısı Gauss binom katsayıları ile gösterilmektedir. Öte yandan, halkalar üzerinde kodların sayıları ile ilgili de çok çeşitli çalışmalar ([9], [10], [11], [42]) yapılmıştır. Bu nedenle, 7. Bölüm'de, bazı halkalar üzerinde kodlar incelenerek bunların sayılarını çok basit bir şekilde bulmaya yarayan formüller elde edilmiştir. Bu çalışmada, 2. ve 5. Bölümlerde genel cebirsel bilgiler, 3. ve 4. Bölümlerde Bulanık Teori ile ilgili kavramlar ve bazı Abel gruplarının bulanık alt gruplarının sayısı, 6., 7. ve 8. Bölümlerde ise Cebirsel Kodlama Teorisi ile ilgili kavramlar, bazı lineer kodların sayısı ve bazı uygulamaları verilmektedir. Anahtar Kelimeler: Bulanık alt gruplar, Denklik sınıfları, Maksimal zincirler, Cebirsel Kodlama Teorisi, Gauss binom katsayıları, Dizaynlar, Sayı dizileri.