Asal idealler ve asal alt modüller

Abstract

Asal idealler Değişmeli Cebir'de önemli rol oynamaktadır. Asal ideallerin bilinen en önemli özelliklerinden biri şu şekildedir: Bir halkanın idealler ailesinin sonlu bir kesişimi bir asal ideal tarafından kapsanıyorsa bu kesişimdeki en az bir ideal de bu asal ideal tarafından kapsanır. Literatür incelendiğinde bu sonlu kesişimin sonsuz olduğu durumların ele alınmış olduğu ve "kuvvetli 0-boyutlu halkalar" olarak adlandırılan, her asal ideali bu özelliğe sahip halkalar üzerinde çalışmaların yapıldığı görülmüştür. Bu halkalar aynı zamanda literatürdeki kompakt paketlenmiş halka kavramının dual ifadesi olmaktadır. Asal ideallerin birleşimi incelendiğinde, literatürde kompakt paketlenmiş halkaların bir genellemesi olan aralarında asal paketlenmiş halka kavramıyla karşılaşmaktayız. Bu çalışmaların verdiği motivasyonla bu tezin ilk bölümünde kuvvetli 0-boyutlu halkaların bir genellemesi şu tanımla yapılmıştır: Bir halkanın asal ideali, herhangi bir idealler ailesindeki her ideal ile aralarında asal iken bu ailedeki ideallerin herhangi bir kesişimini içermiyorsa bu asal ideal, aralarında asal yapılandırılmış ideal olarak adlandırılır. Her asal ideali aralarında asal ideal olan halkalara da bir aralarında asal yapılandırılmış halka denir. Bu çalışmada, tanımladığımız bu halkanın özellikleri araştırılmış ve bu halkaların yerelleştirmesi üzerinde durulmuştur. Ayrıca kuvvetli 0-boyutlu halkalar ile arasındaki geçişler incelenmiş, hangi koşul altında aralarında asal yapılandırılmış bir halkanın kuvvetli 0-boyutlu olduğu araştırılmıştır. Buna ek olarak Artinian halkalar ve *-koşulunu sağlayan halkalarla olan bağlantıları incelenmiştir. Aralarında asal yapılandırılmış halkaların aynı zamanda literatürde h-yerel bölge olarak bilinen halkaların da genel bir hali olduğu gösterilmiş ve bir h-yerel bölgenin aralarında asal olması için hangi koşula sahip olması gerektiği üzerinde durulmuştur. Bir halkanın idealler ailesinin sonlu bir kesişimi bir asal ideal tarafından kapsanırken bu kesişimdeki en az bir ideal de bu asal ideal tarafından kapsanır, ancak bu özellik bir modülün asal alt modülü için her zaman geçerli değildir. Yani bir asal alt modül, alt modüllerin sonlu bir kesişimini kapsıyorken kesişimdeki alt modüllerden hiçbirini kapsamayabilir. Fakat bu durum, halkalarda olduğu gibi çarpımsal modüller için de geçerlidir. Çarpımsal modüllerde bu kesişimin sonsuz olduğu durumu incelemek amacıyla tanımladığımız kuvvetli 0-boyutlu modüller, aynı zamanda kuvvetli 0-boyutlu halka kavramının modül teoriye aktarımı ve bir genellemesi olmuştur. Kuvvetli 0-boyutlu modül tanımı ise şu şekilde yapılmıştır: Çarpımsal bir modülün bir asal alt modülü, alt modüllerin herhangi bir kesişimini içeriyorken bu kesişimdeki en az bir alt modülü de içeriyorsa bu asal alt modüle kuvvetli asal alt modül ve her asal alt modülü kuvvetli asal olan çarpımsal modüller de kuvvetli 0-boyutlu modül denir. Tezin diğer bölümünde ise, tanımlanmış olan bu kavramın özellikleri araştırılmış, von Neumann regüler modül ve Q-modüller ile aralarındaki bağlantılar verilmiştir.