Lineer olmayan kesir mertebeli diferensiyel denklemlerin tam çözüm yöntemleri

Abstract

Kesirli analiz, tam sayı mertebeden türev ve integralin sırasıyla tamsayı olmayan mertebeden türev ve integrale genişlemesidir. Lineer olmayan olayların matematiksel modellenmesinde kesir mertebeli diferensiyel denklemlerin, tam sayı mertebeli diferensiyel denklemlere göre gerçeğe daha yakın modeller oluşturduğu birçok araştırmacı tarafından tespit edilmiştir. Hızla gelişen bilim ve teknolojide; özellikle de mühendislik bilimlerinde lineer olmayan kesir mertebeli diferensiyel denklemlerin tam çözümlerinin bulunması büyük önem kazanmıştır. Son yıllarda pek çok araştırmacı kesir mertebeli diferensiyel denklemlerin yaklaşık ve tam çözümleri üzerine çalışmalar yapmıştır. Bu çalışmalar sonucunda, farklı ve etkili birçok yöntem ortaya çıkmıştır. Bu tezin amacı, lineer olmayan kesir mertebeli diferensiyel denklemlerinin ve denklem sistemlerinin farklı yöntemlerle fizik, biyoloji ve mühendislik gibi birçok bilim dalında kullanılabilir yeni tam çözümlerini elde etmektir. Bu çözümler hareketli dalga, soliter dalga, periyodik, üstel, rasyonel, hiperbolik ve soliton çözümleri kapsadığı için günümüzdeki birçok fiziksel modelin geliştirilmesinde öncülük yapacaktır. Bu tez çalışması altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde; kesirli analiz kavramı, kesirli analizin tarihsel gelişimi ve kullanım alanları hakkında önemli bilgiler verilmiştir. İkinci bölümde; sonraki bölümlerde kullanılacak bazı özel fonksiyonlara değinilmiştir. Üçüncü bölümde; literatürde yer alan bazı önemli kesir mertebeli türevlerin tanımlarına ve önemli özelliklerine yer verilmiştir. Dördüncü bölümde; kesir mertebeli diferensiyel denklemleri adi diferensiyel denklemlere dönüştüren kesirsel karmaşık dönüşümden bahsedilmiştir. Ayrıca kesir mertebeli diferensiyel denklemlerin tam çözümlerini bulmak için kullanılan; alt denklem, fonksiyonel değişken, modifiye edilmiş basit denklem, Kudryashov ve modifiye edilmiş deneme denklem yöntemleri ele alınmıştır. İzleyen bölümde, dördüncü bölümde tanıtılan dönüşüm ve metotlar yardımıyla, bazı önemli kesir mertebeli diferensiyel denklemlerin ve denklem sistemlerinin çözümleri araştırılmış ve bu denklemlerin farklı tiplerde tam çözümleri elde edilmiştir. Tezin son bölümünde ise elde edilen sonuçlar yorumlanmış ve öneriler sunulmuştur.