Özet:
Bilgi çağında yaşadığımız günümüzde dijital bilgi transferi sırasında kaynaktan alıcıya
bilgi aktarırken kanalda, gürültü olarak adlandırılan etkenlerin neden olduğu bazı
hatalar meydana gelmektedir. Kodlama teorisi bu hataların belirlenmesi ve
düzeltilmesi ile ilgilenen bir bilim dalıdır. Bu alandaki ilk çalışmalar cisimler üzerinde
gerçekleştirilmiştir. Mümkün olan en iyi hata düzeltme kapasitesine sahip özel kod
aileleri belirlenmiştir. Örneğin; Hamming kod, Goppa kod ve BCH kod bu özel kod
ailelerindendir. Sonlu cisimler üzerinde çalışılan kod ailelerinin cebirsel yapısı halkalar
üzerinde incelenmeye başlandığında, bazı kod ailelerinin özel bir dönüşüm olan Gray
dönüşüm altındaki görüntülerinin literatürde bilinen kodlardan daha iyi hata
düzeltebilen kodlar elde edildiği gözlemlenmiştir. Böylece halkaların yapısına göre kod
ailelerinin karakterizasyonları merak edilmiştir.
Bu çalışmada farklı zincir olmayan halkalar üzerinde tanımlanan kod ailelerinin yapıları
incelenerek bazıları için tam karakterizasyonlar elde edilmiştir. Bu kod aileleri için hata
düzeltme kapasitelerini ifade eden kod parametreleri verilmiştir. Bu kod ailelerinden
bazıları; devirli, sabit devirli, çarpık devirli, kuantum ve DNA kodlardır.
Bölüm 1’de literatür özeti verilerek bu çalışmanın amacı ve literatüre olan orijinal
katkısı ifade edilecektir. Bölüm 2’de cebirsel kodlama teorisi ile ilgili temel tanım ve
teoremler ifade edilecektir. Bu çalışmada kullanılan özel kod aileleri ile ilgili temel
tanım ve teoremler verilecektir. Bölüm 3’de ilk defa tanımlanan Rq,2 halkasının cebirsel
yapısı incelenerek bu halka üzerinde lineer ve devirli kodlar ile bu kodların dual
kodlarının yapısı verilecektir. Ayrıca Rq,2 halkası üzerinde kendine dik kodlar
kullanılarak kuantum kodlar elde edilecektir. Bölüm 4’de ilk defa tanımlanan R v2-v
halkasının cebirsel yapısı incelenerek bu halka üzerinde lineer, sabit devirli ve çarpık
sabit devirli kodların yapısı verilecektir. Ayrıca R v2-v halkası üzerinde ters sıralı ve ters
sıralı tamlanan kodların cebirsel özelikleri incelenecektir. Ayrıca R v2-v halkası üzerinde
DNA kodlar elde edilecektir. Bölüm 5’de R v4-v halkası üzerinde lineer, devirli, ters sıralı
ve ters sıralı tamlanan kodların cebirsel özelikleri incelenecektir. Ayrıca R v4-v halkası
üzerinde DNA kodlar elde edilecektir. Bölüm 6’da bu tezin sonucu ve ileriki çalışmalar
için öneriler verilecektir.
