Özet:
Bu tez çalışmasında stokastik diferansiyel denklemlerin (SDD) türleri tanımlanarak
analitik (kesin) ve nümerik çözüm yöntemlerine çalışılmıştır. Tez yedi bölümden
oluşmaktadır.
Birinci bölümde SDD ile ilgili literatür özeti, tezin amacı ve hipotez verilmiştir.
İkinci bölümde tezde kullanılacak olan temel kavramlardan, tanımlardan bahsedilmiş
ve deterministik diferansiyel denklemlerden SDD’e geçiş anlatılmıştır.
Üçüncü bölümde SDD’in genel hali tanıtılarak çözümleri için varlık teklik şartları
verilmiştir. Lineer, lineere indirgenebilir SDD ve stokastik diferansiyel denklem
sistemleri (SDDS), bu denklemlerin analitik çözümlerinin elde edilişinden
bahsedilmiştir.
Dördüncü bölümde Ito Taylor açılımı ve bu açılımdan EM, Milstein şemalarının elde
edilişi verilmiştir. Yaklaşık çözümler bulmamıza yardımcı olacak diğer nümerik
metodların şemaları üzerinde durulmuştur.
Beşinci bölümde ise gecikmeli stokastik diferansiyel denklemler (GSDD) tanıtılmış ve
gecikmeli lineer stokastik diferansiyel denklemlerden (GLSDD) bahsedilmiştir. Bu
denklemlerin analitik çözümünün elde edilişi verilmiştir.
Altıncı bölüm uygulamalardan oluşmaktadır. Bölümün ilk uygulamasında 10000 yol
üzerinden lineer olmayan SDD’in analitik ve nümerik çözümü elde edilerek ortalaması
alınmıştır. Bu ortalama çözüm, 50 örneklem yol üzerinden bulunan çözümlerle aynı grafikte çizilmiştir. Farklı adım uzunlukları için modelin analitik ve nümerik çözümleri
MATLAB programlama dilinde yazmış olduğumuz kodlar yardımıyla hesaplanmıştır.
Çözümlerin ortalama karesel hata tablosu, hata grafikleri verilmiştir. Bunun dışında
lineer SDD’e indirgenebilir, SDDS, Stratonovich SDD’i ile ilgili birer problem analitik ve
nümerik olarak çözülmüştür. Son olarak gecikmeli lineer stokastik diferansiyel denklem
modeli analitik ve nümerik olarak hesaplanmıştır. Bütün çözümler grafiklerle ve hata
tablolarıyla desteklenmiş ve yorumlanmıştır.
