Özet:
Bu tez çalışmasında, kısmi diferansiyel denklemlerin nümerik çözümleri Gegenbauer
dalgacık Galerkin yöntemiyle, zaman kesirli mertebeden türevli kısmi diferansiyel
denklem sistemlerinin nümerik çözümleri ise hem Gegenbauer dalgacık Galerkin
yöntemi hem de Gegenbauer dalgacık sıralama yöntemiyle ele alınmıştır. Bu
tez çalışmasının asıl amacı, bu yöntemleri kullanarak bir boyutlu ısı denkleminin,
KdV-Burgers-Kuramoto denkleminin, doğrusal ve doğrusal olmayan Klein-Gordon
denklemlerinin ve zaman kesirli ikili Burgers denkleminin nümerik çözümlerini elde
etmektir. Elde edilen nümerik sonuçlar tablolaştırılıp grafikleri çizildikten sonra hem
analitik çözüm hem de elde edilen nümerik çözümler birbiri ile karşılaştırılmıştır.
Bulunan sonuçlar değerlendirildiğinde, Gegenbauer dalgacık Galerkin yönteminin
hem kısmi diferansiyel denklemlerin hem de kesirli mertebeden türevli doğrusal
olmayan kısmi diferansiyel denklem sistemlerinin nümerik çözümlerini elde etmede
çok etkili ve pratik bir yöntem oldugu gösterilmiştir.
Bu tez, yedi bölümden oluşmaktadır. Bölüm 1’de konu ile ilgili literatür taraması
yapılıp tezin amacından ve hipotezden bahsedilmiştir.
Bölüm 2’de, ortogonal polinomlar ve dalgacıklar ile ilgili temel bilgiler verildikten
sonra tezin alt yapısını oluşturan Gegenbauer dalgacıkları, Gegenbauer dalgacıklarıyla
fonksiyonlara yaklaşım ve Gegenbauer dalgacıklarının yakınsaklık analizi ile ilgili
bilgiler sunulmuştur.
Bölüm 3’te bir boyutlu ısı denklemi Gegenbauer dalgacık Galerkin yöntemiyle nümerik olarak çözülmüştür. Elde edilen nümerik sonuçlar, tablolar halinde verilip
grafikleri çizilerek analitik çözümlerle ve literatürde mevcut olan bazı sonuçlarla
karşılaştırılmıştır.
Bölüm 4’te KdV- Burgers- Kuramoto denklemi ele alınmıştır. Bu denklemin nümerik
çözümleri Gegenbauer dalgacık Galerkin yöntemiyle elde edilmiştir. Elde edilen
nümerik çözümler hem analitik çözümlerle hem de literatürde mevcut olan Legendre
dalgacık yöntemiyle elde edilen nümerik sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Ayrıca nümerik
sonuçların grafikleri çizilmiştir.
Bölüm 5’te doğrusal ve doğrusal olmayan Klein-Gordon denklemleri ele alınmıştır. Bu
denklemler, Gegenbauer dalgacık Galerkin yöntemiyle nümerik olarak çözülmüştür.
Elde edilen nümerik sonuçlar tablolar halinde verilip grafikleri çizilerek tam çözümler
ile karşılaştırılmıştır.
Bölüm 6’da, zaman kesirli ikili Burgers denklemi hakkında bilgi verilmiştir. Ele alınan
problem hem Gegenbauer dalgacık Galerkin yöntemi hem de Gegenbauer dalgacık
sıralama yöntemiyle çözülmüştür. Elde edilen nümerik sonuçlar tablolaştırılıp
grafikleri çizildikten sonra elde edilen nümerik çözümler analitik çözümler ile
karşılaştırılmıştır.
Bölüm 7’de elde edilen tüm sonuçların detaylı olarak değerlendirmesi yapılmıştır.
Bu tez çalışmasında, Maple 15 programlama dili kullanılmış ve tüm hesaplamalar bu
program ile yapılmıştır.
