Özet:
İki ucu sabit, ortasında yük asılı bir ipin titreşim probleminin Fourier metodu ile
çözümünde, sınır koşullarında spektral bir parametre olan spektral problem ortaya
çıkmaktadır. Bu tür problemlerin çözümlerinde, problemin özfonksiyonlar ve ilişkili
fonksiyonlar sisteminin uygun uzaylarda bazlık özelliklerinin incelenmesi gerekir.
Bu çalışmada, sınır koşullarında spektral parametre bulunan ikinci mertebeden
bir diferansiyel denklem için süreksiz spektral problemin özfonksiyonlar sisteminin
bazlığı Lp)
(−1, 1), 1 < p < +∞ grand-Lebesgue uzayı ve Lp),ρ(−1, 1), 1 < p <
+∞ ağırlıklı grand-Lebesgue uzayı için incelenmiştir. Grand-Lebesgue uzaylarının
ayrılabilir olmaması sebebiyle, öteleme (shift) operatörü kullanılarak tanımlanan,
Gp)
(−1, 1) ayrılabilir alt uzayı düşünülmüştür. İlk olarak spektral problemin özdeğer
ve özfonksiyonlarının asimtotik formülleri bulunmuş, daha sonra problemin Green
fonksiyon yapısını kurularak, problemden üretilen lineerleştirilmiş operatörü ve
rezolvent yapısı Gp)
(−1, 1) ⊕ C uzayı üzerinde oluşturulmuştur. Tanımlanan süreksiz
diferansiyel operatörün özfonksiyonlar sisteminin bazlık kriterleri (tamlık, minimallik,
projeksiyonların düzgün sınırlılığı) Gp)
(−1, 1)⊕C, 1 < p < +∞uzayında ispatlanarak
özfonksiyonlar sisteminin bazlığı elde edilmiştir. Sonrasında ise ele alınan problemin
özfonksiyonlar sisteminden çift indisli herhangi bir fonksiyon çıkarıldığında, geriye
kalan sistemin Gp)
(−1, 1), 1 < p < +∞uzaylarında bir baz oluşturduğu gösterilmiştir.
Ağırlıklı grand-lebesgue uzayı da ayrılabilir olmadığı için benzer yöntemle
Gp),ρ(0, 1), 1 < p < +∞ uygun alt uzayı tanımlanmıştır. Bu bölümde bir diğer
spektral problem ele alınmıştır. Bu problemde yük telin tam ortasında değil, telin
1 3 noktasındadır. Telin üzerine asılan yüküm konumunun değişmesi sebebiyle problemin
özdeğerler ve özfonksiyonların asimtotik formüllerinin yeniden bulunması gerekir.
Sonrasında ρ ağırlık fonksiyonu Muckenhoupt şartını sağlamasıyla, üstel sistemlerin,
trigonometrik sistemlerin bazlık özellikleri Gp),ρ(0, 1), 1 < p < +∞ uzayında
incelemiştir. Spektral probleme uygun süreksiz diferansiyel operatörün özfonksiyonlar
sisteminin Gp),ρ(0, 1) ⊕ C, 1 < p < +∞ uzayında bir baz oluşturduğu p−yakın ve
q−baz gibi kavramlar kullanılarak, trigonometrik sistemler aracılığıyla ispatlanmıştır.
Son olarak problemin özfonksiyonlar sisteminden belirli şartlar altında keyfi bir
fonksiyonu çıkardığımızda çalışmalar tamamlanmıştır.
