Değişmeli olmayan halkalar üzerinde tanımlı devirli kodlar

Abstract

Dijital bilgi transferinde ya da bilgi depolamasında kaynaktan kullanıcıya bilgi aktarılması esnasında dış etkenlerden ötürü bilgi mesajı değişikliğe uğrayabilir. Kodlama teorisi, haberleşme esnasında ya da bilgi depolamasında meydana gelebilecek hataları tespit etme ve düzeltme ile ilgilenir ve matematiğin farklı dallarıyla bağlantısı olan disiplinler arası bir alandır. Kodlama teorisinin temel problemi ise orijinal bilgiye eklemeler yapılırken maliyetin minimumda tutulması ve aynı zamanda hata düzeltme kapasitesinin maksimum seviyede olmasını sağlamaktır. Bu alanda yapılan ilk çalışmalar cisimler üzerinde tanımlı lineer kodlar ve devirli kodlar üzerine yoğunlaşmıştır. Hamming kodlar, BCH kodlar, Golay kodları gibi bazı önemli kod aileleri elde edilmiştir. 70?lerin başından itibaren halkalar üzerinde kodlar çalışılmış, fakat bu alanda asıl ilerleme 1994 te Hammons vd. tarafından yapılan çalışma ile olmuştur. Bu çalışmada cebirsel bir yapıya sahip olmayan (lineer olmayan) Kerdock ve Preparata gibi bazı önemli kod aileleri Z_4 üzerinde tanımlı lineer kodların Gray dönüşümü altındaki görüntüsü olarak elde edilmiştir. Böylece bu alanda yapılan çalışmalar farklı bir boyut kazanmış ve halkalar üzerinde kodlara yönelik birçok araştırma yapılmıştır. Son altı yıldır ise değişmeli olmayan halkalar üzerinde kodlar tanımlanmış ve cebirsel özellikleri araştırılmıştır. Elde edilen bu yeni kod ailesi skew devirli kodlar olarak adlandırılmıştır. Skew devirli kodlar cebirsel yapıları nedeniyle oldukça önemlidir. Skew polinom halkası tek türlü çarpanlarına ayrılabilen halka olmadığından devirli kodlara göre daha fazla üreteç polinomu ve böylece daha fazla sayıda kod elde etmek mümkündür. Dolayısıyla daha iyi parametrelere sahip kodların araştırılması açısından skew devirli kodlar daha avantajlı olabilir. En önemli özelliklerden biri ise lineer kodların daha zengin cebirsel yapılarda temsilinin elde edilmesidir. Bu tezde skew devirli kodlarla ilgili literatürde mevcut olan çalışmalar irdelenmiş ve örneklendirilmiştir. Skew devirli kodların idempotent üreteçleri belirlenmiş ve idempotent üreteçlerin tek olmayabileceği gösterilmiştir. Karakteristiği 2 olan 16 elemanlı F_4+vF_4 halkasının özellikleri çalışılmış ve bu halka üzerinde lineer kodlar belirlenmiştir. Ayrıca bu halka üzerinde Gray dönüşümü tanımlanarak F_4 üzerinde kodlar elde edilmiştir. Literatürde henüz çalışılmamış olan F_4+vF_4 halkası üzerinde skew devirli kodlar tanımlanmış ve özellikleri belirlenmiştir. Bu kodların Gray dönüşümü altındaki görüntülerinden iyi parametrelere sahip kodlar elde edilmiştir.