Kuaterniyon halkaları üzerinde lineer kodlar

Abstract

Dijital bilgi transferi ve depolanmasının artmasıyla son yıllarda Cebirsel Kodlama Teorisi birçok araştırmacı tarafından ilgi görmektedir. Bu transfer ya da depolama esnasında kanalda meydana gelebilecek herhangi bir gürültü nedeniyle gönderilen mesaj değişikliğe uğrar. Bu nedenle hata meydana gelerek alınan mesaj gönderilenden farklı olana hatalı mesaj haline dönüşür. Kodlama Teorisi ya da Hata Düzelten Kodlar Teorisi bu hataları en aza indirmek, alınan sözü doğru bir şekilde hatalarını düzeltmekle ilgilenmektedir. Matematiğin birçok alt dalıyla ilişkili olan bu disiplinler arası alanda ilk çalışma 1948 yılında Shannon tarafından yapılmıştır. Bunu takip eden birçok çalışma ile kodlama teorisi cisimler, halkalar gibi farklı cebirsel yapılar üzerinde çalışılmıştır. Başlangıçta sonlu cisimler üzerinde yapılan çalışmalar ilk olarak Hammons ve arkadaşları tarafından halkalara taşınmıştır. Kuaterniyonlar ilk olarak Hamilton tarafından 1847 yılında tanıtılmıştır. Vektörlerde bölme işlemi yapılmasını sağlayan bu yapı birçok matematikçi tarafından ilgi görmüştür. Son yıllarda kodlama teorisi alanında çalışma yapan araştırmacılar, Kuaterniyon tamsayıları adı verdikleri, katsayıları tamsayılarda oluşan halka üzerinde lineer kodları ve daha pek çok kod ailelerinin inşaalarını vermiş ve dekodlama teknikleri geliştirmişlerdir. Bu tezde sonlu kuaterniyonlar halkası adı verilen sonlu cisminden katsayılı halka incelenmiştir. Önce cebirsel özellikleri ele alınan halkanın sonlu, değişmeli olmayan ve zincir halkası olmayan bir halka olduğu gösterilmiştir. Bu halkanın elemanlarının lineerinin oluşturduğu modülü üzerinde kodlar çalışılmıştır. Lineer kodlar bu yapı üzerinde inşaa edilmiş ve standart forma üreteç matris verilerek parametreleri belirlenmiştir. Öte yandan üzerinde devirli kodlar, sabit devirli kodlar ve çoklu devirli kodlar çalışılmış ve bu kodlar için parametreler verilmiştir.