Bazı halkalar üzerinde tanımlı alt modül kodları

Abstract

20. yüzyılın ikinci yarısından bugüne dijital iletişim olağanüstü gelişerek verinin taşınması ve saklanmasının büyük önem kazanmasına neden oldu. Bu sebeple, veri kaybını önlemeyi veya kontrol edebilmeyi amaçlayan cebirsel kodlama teorisi ortaya çıktı ve hızla gelişti. Lineer kodların önemli bir sınıfı olan devirli kodlar, matematiksel özellikleri ve bu özelliklerin elektronik devre yapılarına doğal uyumu sebebiyle haberleşme teorisi için hayati önemdedir. Bazı lineer olmayan kodlar, hata düzeltme kapasitesi gibi daha iyi parametrelere sahip olabilse de, lineer kodlar gibi sistematik olmadıkları için üzerinde çalışılmaları ve bulunmaları daha zordur. Ne var ki, Hammons ve arkadaşları 1994'te yayımladıkları makalelerinde dörtlü lineer kodlar ve lineer olmayan ikili kodlar arasındaki ilişkiyi göstererek, nasıl lineer kodlar üzerinde çalışıp daha iyi parametreli lineer olmayan kodlar elde edilebileceğini gösterdiler. Pek çok çalışmaya ilham veren bu çalışmadan sonra birçok farklı halka üzerinde devirli kod yapıları ve bunların Gray fonksiyonları altındaki görüntüleri üzerine çalışmalar yapıldı. Son zamanlarda, q bir asalın kuvveti olmak üzere Zq+uZq üzerindeki devirli kodlar üzerine de çalışmalar yapıldı. Ne var ki, R halkası üzerindeki n uzunluklu bir lineer C kodunun devirli olması için gerek ve yeter şartın kodsözlere karşılık gelen polinomların R[x]/ halkasının bir ideali olması gerçeğine karşın, bu çalışmalar (Zq+uZq)[x]/ halkasının ideallerini belirleme problemi ile ilgilenmediler. Bu tezde biz, p bir asal ve s pozitif bir tam sayı iken q=p^s olmak üzere, u^2=0 için Zq+uZq halkalarının bütün ideallerini belirliyoruz. Sonrasında, bu ideallerin sayısını belirleyen bir formül veriyoruz. Daha sonra, n ile p aralarında asal olmak üzere, (Zq+uZq)[x]/ halkasının ideal yapısını belirledikten sonra n uzunluğundaki devirli kodları araştırıyoruz. Böylece, bir formül ile bu ideallerin sayısını vererek devirli kodların sayısını da belirliyoruz. Bazı sabit q değerleri için özel kod aileleri üzerinde çalışıyoruz ve bu kodların eleman sayılarını belirliyoruz. Yine bu özel kod ailesinin dual kodları üzerinde çalışıyor ve eleman sayılarını belirliyoruz.